Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus

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Areasinus Hyperbolicus (abgekürzt \operatorname{arsinh}, \operatorname{asinh}, \operatorname{arsh}; seltener auch \!\ \sinh^{-1}, \mathfrak{ArSin}) und Areakosinus Hyperbolicus (abgekürzt \operatorname{arcosh}, \operatorname{acosh}, \operatorname{arch}; seltener auch \!\ \cosh^{-1}, \mathfrak{ArCos}) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus Hyperbolicus bzw. Kosinus Hyperbolicus.

Definitionen[Bearbeiten]

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus Hyperbolicus:

 {\rm arsinh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 + 1} \right)

Areakosinus Hyperbolicus:

 {\rm arcosh}(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \right)

Hier steht  \ln für den natürlichen Logarithmus.

Umrechnung[Bearbeiten]

Zusammen mit der Signumfunktion  \sgn gilt der Zusammenhang:


\operatorname{arsinh}(x) = \operatorname{sgn}(x) \cdot \operatorname{arcosh}\left(\sqrt{x^2 + 1} \right).


Für x > 1 gilt:


\operatorname{arcosh}(x) = \operatorname{arsinh}\left(\sqrt{|x|^2 - 1} \right).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Graph der Funktion arsinh(x)
Graph der Funktion arcosh(x)


  Areasinus Hyperbolicus Areakosinus Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  1 \le x < + \infty
Wertebereich  - \infty < f(x) < + \infty  0 \le f(x) < + \infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion keine
Asymptote  f(x)\to \pm \ln(2|x|) für  x \to \pm \infty  f(x)\to \ln(2x) für  x \to +\infty
Nullstellen  x = 0  x = 1
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte  x = 0 keine

Reihenentwicklungen[Bearbeiten]

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei tritt die Doppelfakultät bzw. die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

\begin{alignat}{2} 
{\rm arsinh}(x) &= x \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k-1)!!(-x^2)^k}{(2k)!! (2k+1)} = \sum _{k=0}^{\infty } \frac{\binom{ -\frac{1}{2}}{k} x^{2 k+1}}{2 k+1} & {}
\\
 &= x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \frac{x^5}{5} - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \frac{x^7}{7} + - \cdots & \mbox{ für }|x| < 1
\\
{\rm arsinh}(x) &= {\rm sgn}(x) \cdot \left[ \ln(2|x|) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k(2k)!!(-x^2)^k} \right] & \text{ f}\ddot{\text{u}} \text{r }|x| >1
\\
{\rm arcosh}(x) &= \ln (2x)-\sum_{k=1}^\infty \frac{(2k-1)!!}{2k\cdot (2k)!!}x^{-2k} & {}
\end{alignat}

Ableitungen[Bearbeiten]

Die Ableitung des Areasinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arsinh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}.

Die Ableitung des Areakosinus Hyperbolicus lautet:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\rm arcosh}(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} für x > 1.

Stammfunktionen[Bearbeiten]

Die Stammfunktionen des Areasinus Hyperbolicus und des Areakosinus Hyperbolicus lauten:

 \int \operatorname{arsinh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arsinh}(x) - \sqrt{x^2 + 1} + C
 \int \operatorname{arcosh}(x)\ \mathrm dx = x \cdot \operatorname{arcosh}(x) - \sqrt{x^2 - 1} + C

Andere Identitäten[Bearbeiten]


\begin{align}
\operatorname{arcosh}(2x^2-1)=2\operatorname{arcosh}(x)           \quad\quad \hbox{ für }x\geq 1 \\
\operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1)=4\operatorname{arcosh}(x)      \quad\quad \hbox{ für }x\geq 1 \\
\operatorname{arcosh}(2x^2+1)=2\operatorname{arsinh}(x)           \quad\quad \hbox{ für }x\geq 0 \\
\operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1)=4\operatorname{arsinh}(x)      \quad\quad \hbox{ für }x\geq 0 
\end{align}

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b  Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.